Als Kevin Buzzard am Montagmorgen in London aufwachte, war die Rechnung längst geprüft. Über Nacht hatten Fachleute nachvollzogen, was ein beiläufiger Post auf X behauptet hatte – und es hielt stand. Bis zum Mittag sprach die Abteilung für reine Mathematik am Imperial College London über nichts anderes. »Es ist ein großer Tag«, sagte Buzzard dem Magazin »Fortune«. Es sei eine großartige Zeit, um am Leben zu sein.

Auslöser war Levent Alpöge, ein Mathematiker, der beim KI-Unternehmen Anthropic arbeitet. Während in New York das Finale der Fußball-Weltmeisterschaft lief, setzte er das erst wenige Wochen zuvor veröffentlichte Sprachmodell Claude Fable 5 auf eine Frage an, die seit 1939 offen war: die Jacobi-Vermutung. Seine knappe Mitteilung, die Vermutung sei falsch, wurde laut »Fortune« mehr als 20 Millionen Mal aufgerufen. Auf das Problem aufmerksam gemacht hatte ihn Akhil Mathew von der University of Chicago.

Ein Gegenbeispiel statt eines Beweises

Die Vermutung stammt aus der algebraischen Geometrie und lässt sich an einer Landkarte veranschaulichen: Eine Polynomfunktion verschiebt die Punkte eines Raums, und die sogenannte Jacobi-Determinante misst, wie stark sie den Raum dabei staucht oder faltet. Ist diese Determinante überall eine Konstante ungleich null, so die Annahme, dann muss sich die Abbildung durch eine zweite Polynomfunktion vollständig rückgängig machen lassen. Den zweidimensionalen Fall formulierte Ludwig Kraus bereits 1884, Ott-Heinrich Keller verallgemeinerte ihn 1939 auf beliebig viele Dimensionen.

Genau daran scheitert das nun gefundene Beispiel. Seine Determinante beträgt an jedem Punkt konstant −2, dennoch landen drei verschiedene Ausgangspunkte auf ein und demselben Ziel. Wer nur das Ergebnis kennt, kann nicht mehr entscheiden, welcher der drei Punkte gemeint war – umkehrbar ist diese Abbildung also nicht.

Dass so lange niemand darauf stieß, lag nicht an fehlendem Ehrgeiz. Stephen Smale nahm die Frage 1998 in seine Liste mathematischer Probleme für das kommende Jahrhundert auf. Beweisversuche prominenter Fachleute wie Beniamino Segre und Wolfgang Gröbner scheiterten an subtilen Fehlern; Computerrechnungen bestätigten den zweidimensionalen Fall immerhin bis zum Polynomgrad 100.

Für viele Mathematikerinnen und Mathematiker zeigt der Fall vor allem, wo die Modelle derzeit ihre Stärke haben. »Künstliche Intelligenz ist ausgezeichnet, um Gegenbeispiele zu finden«, sagte der Fields-Medaillenträger Jacob Tsimerman von der University of Toronto im Juli auf dem Internationalen Mathematikerkongress. Ihm selbst fehle die Geduld, unzählige Kandidaten durchzuprobieren.

Ein Rest Unbehagen bleibt. Man könne zwar nachprüfen, dass das Ergebnis korrekt sei, sagte Mathew dem Magazin »Fortune« – schöner wäre es, dazu auch eine Geschichte erzählen zu können. Neu ist das Muster ohnehin nicht: Im Mai widerlegte ein Modell von OpenAI eine 80 Jahre alte Erdős-Vermutung. Im Juni forderten 16 Forschende aus 15 Universitäten in der Leidener Erklärung verbindliche Regeln zu Transparenz, Urheberschaft und Begutachtung, bevor KI verändert, was mathematisches Wissen überhaupt bedeutet.