Das Ergebnis, das eine 87 Jahre alte mathematische Vermutung beendet hat, ist kurz genug, um es in wenigen Sekunden zu lesen, und jede kompetente Mathematikerin kann es von Hand nachprüfen. Diese Kombination — extrem schwer zu finden, trivial zu überprüfen — ist der Grund, warum die mathematische Welt seit einer Woche darüber streitet, was eine Maschine an einem Sonntagabend getan hat.
Während das WM-Finale lief, schrieb Levent Alpöge, Mathematiker in Harvard und beim KI-Unternehmen Anthropic, auf X, die Jacobi-Vermutung sei falsch. Er dankte Akhil Mathew von der University of Chicago für den Hinweis auf das Problem und Anthropics Modell Fable 5, erst wenige Wochen zuvor veröffentlicht, für die Arbeit während des Spiels. Das Gegenbeispiel umfasst 216 Zeichen.
Die Vermutung handelt von Polynomabbildungen — Regeln, die eine Zahlenmenge, die einen Punkt im Raum bezeichnet, an eine andere Stelle verschieben. Ein Maß dafür, wie schonend eine solche Abbildung mit dem Raum umgeht, ist die sogenannte Jacobi-Determinante. Ist sie überall eine von null verschiedene Konstante, staucht oder faltet die Abbildung den Raum an keinem Punkt, und die Vermutung besagt, dass sich eine solche Abbildung stets durch eine weitere Polynomabbildung umkehren lassen muss, die jeden Punkt an seinen Ausgangsort zurückbringt. Alpöge und das Modell lieferten eine Abbildung des dreidimensionalen Raums auf sich selbst, die die geforderte konstante Determinante besitzt und sich dennoch nicht rückgängig machen lässt. Ein einziges gültiges Gegenbeispiel genügt.
Ein Problem mit einer Geschichte falscher Antworten
Ludwig Kraus formulierte 1884 die zweidimensionale Fassung, Ott-Heinrich Keller verallgemeinerte sie 1939 auf beliebig viele Dimensionen. Stephen Smale hielt sie für wichtig genug, um sie 1998 in seine Liste der Probleme für das kommende Jahrhundert aufzunehmen. Sie sammelte auch prominente Fehlschläge: Behauptete Beweise von Beniamino Segre und Wolfgang Gröbner enthielten subtile Fehler, und dem jungen Yitang Zhang wurde beschieden, er sei an dem Problem gescheitert — Jahre vor seiner gefeierten Arbeit über Abstände zwischen Primzahlen. Weil das Gegenbeispiel im Dreidimensionalen liegt, bleibt der zweidimensionale Fall, nach dem Kraus ursprünglich fragte, unberührt.
Unabhängige Mathematiker haben die Rechnung inzwischen geprüft. „Das ist eine ziemlich große Sache", sagte Abhishek Saha von der Queen Mary University of London dem New Scientist; es sei wohl die größte Vermutung, bei der KI bislang eine bedeutende Rolle gespielt habe. Der Fields-Medaillist Timothy Gowers erklärte, zum ersten Mal habe eine KI ein Problem außerhalb seines eigenen Gebiets erledigt, das groß genug war, dass er davon gehört hatte. Bartósz Naskręcki mahnte, dies sei kein Ein-Zeilen-Prompt gewesen — die Suche nach einem solchen Objekt erfordere echte Einsicht. Der OpenAI-Forscher Aaron Lou berichtete, eine interne Version des Codex-Modells habe unabhängig im Wesentlichen dasselbe Gegenbeispiel gefunden.
Nicht alle sind beeindruckt, und der Einwand ist lehrreich. Andrew Blumberg von der Columbia University, der an einem Projekt zur Prüfung von KI-Systemen an Forschungsmathematik mitarbeitet, sagte, die Episode habe seine Erwartungen nicht verändert. Ein Gegenbeispiel beendet eine Debatte; ein Beweis erklärt, warum etwas wahr ist. Smale wollte die Vermutung geklärt sehen wegen dessen, was ihre Lösung offenbaren könnte. Dieser Teil des Problems ist weiterhin offen.